Exact rate of accelerated propagation in the Fisher-KPP equation with nonlocal diffusion and free boundaries

Abstract

Abstract Accelerated propagation is a new phenomenon associated with nonlocal diffusion problems. In this paper, we determine the exact rate of accelerated propagation in the Fisher-KPP equation with nonlocal diffusion and free boundaries, where the nonlocal diffusion operator is given by $$\displaystyle \int _{\mathbb {R}}J(x-y)u(t,y)dy-u(t,x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , and the kernel function J ( x ) behaves like a power function near infinity, namely $$\lim _{|x|\rightarrow \infty } J(x)|x|^{\alpha }=\lambda &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for some $$\alpha \in (1,2]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This is the precise range of $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:math> where accelerated spreading can happen for such kernels. By constructing subtle upper and lower solutions, we prove that the location of the free boundaries $$x=h(t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$x=g(t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> goes to infinity at exactly the following rates: $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\frac{h(t)}{t\ln t}=\lim _{t\rightarrow \infty }\frac{-g (t)}{t\ln t}=\mu \lambda ,&amp;{} \hbox { when } \alpha =2,\\ \displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\frac{h(t)}{ t^{1/(\alpha -1)}}= \lim _{t\rightarrow \infty }\frac{-g (t)}{ t^{1/(\alpha -1)}}=\frac{2^{2-\alpha }}{2-\alpha }\mu \lambda , &amp;{} \hbox { when } \alpha \in (1,2). \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mspace/> <mml:mtext>when</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>

Topics & Concepts