Concentration of solutions for fractional Kirchhoff equations with discontinuous reaction

Abstract

Abstract In this paper, we consider the following fractional Kirchhoff equation with discontinuous nonlinearity $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \left( \varepsilon ^{2\alpha }a+\varepsilon ^{4\alpha -3}b\int _{{\mathbb {R}}^3}|(-\Delta )^{\frac{\alpha }{2}} u|^2{{\mathrm{d}}}x\right) (-\Delta )^\alpha {u}+V(x)u = H(u-\beta )f(u) &amp;{} \quad \text{ in }\,\,{\mathbb {R}}^3, \\ u\in H^\alpha ({\mathbb {R}}^3),\quad u&gt;0 &amp;{} \quad \text{ in }\,\, {\mathbb {R}}^3, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\varepsilon ,\beta &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> are small parameters, $$\alpha \in (\frac{3}{4},1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> and a , b are positive constants, $$(-\Delta )^{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:math> is the fractional Laplacian operator, H is the Heaviside function, V is a positive continuous potential, and f is a superlinear continuous function with subcritical growth. By using minimax theorems together with the non-smooth theory, we obtain existence and concentration properties of positive solutions to this non-local system.

Topics & Concepts