The L-to-L boundedness of commutators with applications to the Jacobian operator
Tuomas Hytönen
Abstract
Supplying the missing necessary conditions, we complete the characterisation of the Lp→Lq boundedness of commutators [b,T] of pointwise multiplication and Calderón–Zygmund operators, for arbitrary pairs of 1<p,q<∞ and under minimal non-degeneracy hypotheses on T. For p≤q (and especially p=q), this extends a long line of results under more restrictive assumptions on T. In particular, we answer a recent question of Lerner, Ombrosi, and Rivera-Ríos by showing that b∈BMO is necessary for the Lp-boundedness of [b,T] for any non-zero homogeneous singular integral T. We also deal with iterated commutators and weighted spaces. For p>q, our results are new even for special classical operators with smooth kernels. As an application, we show that every f∈Lp(Rd) can be represented as a convergent series of normalised Jacobians Ju=det∇u of u∈W˙1,dp(Rd)d. This extends, from p=1 to p>1, a result of Coifman, Lions, Meyer and Semmes about J:W˙1,d(Rd)d→H1(Rd), and supports a conjecture of Iwaniec about the solvability of the equation Ju=f∈Lp(Rd). En fournissant les conditions nécessaires manquantes, nous complétons la caractérisation de la bornitude Lp→Lq des commutateurs [b,T] de multiplication ponctuelle et des opérateurs de Calderón–Zygmund, pour des paires arbitraires de 1<p,q<∞ et avec des hypothèses de non-dégénérescence minimales sur T. Pour p≤q (et en particulier p=q), cela étend une longue ligne de résultats avec des hypothèses plus restrictives sur T. En particulier, nous répondons à une question récente de Lerner, Ombrosi et Rivera-Ríos en montrant que b∈BMO est nécessaire pour la Lp-bornitude de [b,T] pour toute intégrale singulière homogène non nulle T. Nous traitons également des commutateurs itérés et des espaces avec des poids. Pour p>q, nos résultats sont nouveaux même pour les opérateurs classiques spéciaux à noyaux lisses. Comme application, nous montrons que chaque f∈Lp(Rd) peut être représenté comme une série convergente de Jacobiens normalisés Ju=det∇u de u∈W˙1,dp(Rd)d. Ceci étend, de p=1 à p>1, un résultat de Coifman, Lions, Meyer et Semmes concernant J:W˙1,d(Rd)d→H1(Rd), et supporte une conjecture d'Iwaniec sur la résolvabilité de l'équation Ju=f∈Lp(Rd).