Spectral properties of the logarithmic Laplacian
Ари Лаптев, Tobias Weth
Abstract
Abstract We obtain spectral inequalities and asymptotic formulae for the discrete spectrum of the operator $$\frac{1}{2}\, \log (-\Delta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mspace/> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in an open set $$\Omega \in \mathbb R^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$d\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , of finite measure with Dirichlet boundary conditions. We also derive some results regarding lower bounds for the eigenvalue $$\lambda _1(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and compare them with previously known inequalities.