Asymptotic Spreading for General Heterogeneous Fisher-KPP Type Equations

Abstract

In this monograph, we review the theory and establish new and general results regarding spreading properties for heterogeneous reaction-diffusion equations: <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential Subscript t Baseline u minus sigma-summation Underscript i comma j equals 1 Overscript upper N Endscripts a Subscript i comma j Baseline left-parenthesis t comma x right-parenthesis partial-differential Subscript i j Baseline u minus sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript upper N Endscripts q Subscript i Baseline left-parenthesis t comma x right-parenthesis partial-differential Subscript i Baseline u equals f left-parenthesis t comma x comma u right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \partial _{t} u - \sum _{i,j=1}^N a_{i,j}(t,x)\partial _{ij}u-\sum _{i=1}^N q_i(t,x)\partial _i u=f(t,x,u). \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> These are concerned with the dynamics of the solution starting from initial data with compact support. The nonlinearity <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is of Fisher-KPP type, and admits <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as an unstable steady state and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as a globally attractive one (or, more generally, admits entire solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript plus-or-minus Baseline left-parenthesis t comma x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ± </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^\pm (t,x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript minus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^-</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is unstable and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is globally attractive). Here, the coefficients <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Sub

Topics & Concepts