A Kirchhoff Type Equation in $$\pmb {\mathbb {R}}^{N}$$ Involving the fractional (p, q)-Laplacian

Abstract

Abstract In this paper, we deal with the following class of fractional ( p , q )-Laplacian Kirchhoff type problem: $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \left( 1+[u]_{s,p}^{p}\right) (-\Delta )_{p}^{s}u+ \left( 1+[u]^{q}_{s, q}\right) (-\Delta )_{q}^{s}u + V(\varepsilon x) (|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u)= f(u) &amp;{} \text{ in } \mathbb {R}^{N}, \\ u\in W^{s, p}(\mathbb {R}^{N})\cap W^{s,q}(\mathbb {R}^{N}), \quad u&gt;0 \text{ in } \mathbb {R}^{N}, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</m

Topics & Concepts