The Dirichlet problem for the 1-Laplacian with a general singular term and <i>L</i> <sup>1</sup> -data
Marta Latorre, Francescantonio Oliva, Francesco Petitta, Sergio Segura de León
Abstract
Abstract We study the Dirichlet problem for an elliptic equation involving the 1-Laplace operator and a reaction term, namely: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> is an open bounded set having Lipschitz boundary, f ∈ L 1 (Ω) is nonnegative, and h is a continuous real function that may possibly blow up at zero. We investigate optimal ranges for the data in order to obtain existence, nonexistence and (whenever expected) uniqueness of nonnegative solutions.