Existence and concentration of ground-states for fractional Choquard equation with indefinite potential
Wen Zhang, Shuai Yuan, Lixi Wen
Abstract
Abstract This paper is concerned with existence and concentration properties of ground-state solutions to the following fractional Choquard equation with indefinite potential: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mspace width="-0.25em"/> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi>A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:math> {\left(-\Delta )}^{s}u+V\left(x)u=\left(\mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}\frac{A\left(\varepsilon y)| u(y){| }^{p}}{| x-y{| }^{\mu }}{\rm{d}}y\right)A\left(\varepsilon x)| u\left(x){| }^{p-2}u\left(x),\hspace{1em}x\in {{\mathbb{R}}}^{N}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> s\in \left(0,1) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> </m:math> N\gt 2s , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mn>0</m:mn> <m:mo><</m:mo> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo><</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> </m:math> 0\lt \mu \lt 2s , <jats:inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3