Bifurcation diagrams of one-dimensional Kirchhoff-type equations
Tetsutaro Shibata
Abstract
Abstract We study the one-dimensional Kirchhoff-type equation <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mo form="prefix">−</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>‖</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo accent="false">′</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>‖</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo accent="true">″</m:mo> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi>I</m:mi> <m:mo>≔</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi>I</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>±</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:math> -\left(b+a\Vert u^{\prime} {\Vert }^{2}){u}^{^{\prime\prime} }\left(x)=\lambda u{\left(x)}^{p},\hspace{1em}x\in I:= \left(-1,1),\hspace{1em}u\left(x)\gt 0,\hspace{1em}x\in I,\hspace{1em}u\left(\pm 1)=0, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mo>‖</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo accent="false">′</m:mo> <m:mo>‖</m:mo> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>I</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo accent="false">′</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>/</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> \Vert u^{\prime} \Vert ={\left({\int }_{I}u^{\prime} {\left(x)}^{2}{\rm{d}}x\right)}^{1\text{/}2} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> a\gt 0,b\gt 0,p\gt 0 are given constants and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> \lambda \gt 0 is a bifurcation parameter. We establish the exact solution <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow>