Eigenvectors from eigenvalues: A survey of a basic identity in linear algebra

Abstract

If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n times n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \times n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> Hermitian matrix with eigenvalues <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 1 left-parenthesis upper A right-parenthesis comma ellipsis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _1(A),\dots ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda Subscript n Baseline left-parenthesis upper A right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _n(A)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i comma j equals 1 comma ellipsis comma n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i,j = 1,\dots ,n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j"> <mml:semantics> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> th component <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v Subscript i comma j"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v_{i,j}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a unit eigenvector <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v Subscript i"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> associated to the eigenvalue <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda Subscript i Baseline left-parenthesis upper A right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _i(A)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is related to the eigenvalues <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 1 left-parenthesis upper M Subscript j Baseline right-parenthesis comma ellipsis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _1(M_j),\dots ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda Subscript n minus 1 Baseline left-parenthesis upper M Subscript j Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mm

Topics & Concepts