Stokes drift and its discontents
Jacques Vanneste, W. R. Young
Abstract
The Stokes velocity <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , defined approximately by Stokes (1847, Trans. Camb. Philos. Soc. , 8 , 441–455.), and exactly via the Generalized Lagrangian Mean, is divergent even in an incompressible fluid. We show that the Stokes velocity can be naturally decomposed into a solenoidal component, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>sol</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and a remainder that is small for waves with slowly varying amplitudes. We further show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>sol</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> arises as the sole Stokes velocity when the Lagrangian mean flow is suitably redefined to ensure its exact incompressibility. The construction is an application of Soward & Roberts’s glm theory (2010, J. Fluid Mech. , 661 , 45–72. ( doi:10.1017/S0022112010002867 )) which we specialize to surface gravity waves and implement effectively using a Lie series expansion. We further show that the corresponding Lagrangian-mean momentum equation is formally identical to the Craik–Leibovich (CL) equation with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>sol</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> replacing <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and we discuss the form of the Stokes pumping associated with both <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="bold-italic">u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext>sol</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mml:mrow> <mml:mtext>S</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . This article is part of the theme issue ‘Mathematical problems in physical fluid dynamics (part 1)’.