Global generalized solvability in a strongly degenerate taxis-type parabolic system modeling migration–consumption interaction
Michael Winkler
Abstract
Abstract The parabolic problem $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_t=\Delta \big (u\phi (v)\big ), \\ v_t=\Delta v-uv, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> is considered in smoothly bounded subdomains of $${\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with arbitrary $$n\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Under the assumptions that $$\phi \in C^0([0,\infty )) \cap C^3((0,\infty ))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is positive on $$(0,\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and satisfies $$\begin{aligned} \liminf _{\xi \searrow 0} \frac{\phi (\xi )}{\xi ^\alpha }>0 \quad {\text{ and }} \quad \limsup _{\xi \searrow 0} \big \{ \xi ^\beta |\phi '(\xi )| \big \}<\infty \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>lim inf</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>↘</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:munder> <mml:mo>lim sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>↘</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> with some $$\alpha >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo>