The existence of nontrivial solution of a class of Schrödinger–Bopp–Podolsky system with critical growth
Jie Yang, Haibo Chen, Senli Liu
Abstract
Abstract We consider the following Schrödinger–Bopp–Podolsky problem: $$ \textstyle\begin{cases} -\Delta u+V(x) u+\phi u=\lambda f(u)+ \vert u \vert ^{4}u,& \text{in } \mathbb{R}^{3}, \\ -\Delta \phi +\Delta ^{2}\phi = u^{2}, & \text{in } \mathbb{R}^{3}. \end{cases} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We prove the existence result without any growth and Ambrosetti–Rabinowitz conditions. In the proofs, we apply a cut-off function, the mountain pass theorem, and Moser iteration.