Covariantly constant tensors in Euclid spaces. Elements of the theory
Е. В. Мурашкин, Юрий Николаевич Радаев
Abstract
В настоящей работе обсуждаются вопросы ковариантного постоянства тензоров и псевдотензоров (в том числе, двухточечных) произвольной валентности и веса в Евклидовом пространстве. Приводятся минимально необходимые сведения из алгебры и анализа псевдотензоров в пространствах Евклида. Выясняются общие условия ковариантного постоянства псевдотензоров. Рассматриваются примеры ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров из многомерной геометрии. Речь, в частности, идет о фундаментальном ориентирующем псевдоскаляре, целые степени которого удовлетворяет условию ковариантного постоянства. Обсуждаются свойства и способы координатного представления тензоров ковариантно постоянных тензоров ипсевдотензоров четвертого ранга. На основе неконвенционального определения полуизотропного тензора четвертого ранга приводится координатное представление в терминах дельт Кронекера и метрических тензоров. Устанавливаются условия ковариантного постоянства полуизотропных тензоров четвертого ранга. In this paper, we discuss the covariant constancy of tensors and pseudotensors (including two-point ones) of arbitrary valency and weight in Euclidean space. The requisite notions and equations from algebra and analysis of pseudotensors in Euclidean spaces are given. The general conditions for the covariant constancy of pseudotensors are highlighted. Examples of covariantly constant tensors and pseudotensors from multidimensional geometry are considered. In particular, a fundamental orienting pseudoscalar whose integer powers satisfy the condition of covariant constancy is introduced. The properties and methods of coordinate representation of covariantly constant tensors and pseudotensors of the fourth rank are discussed. Based on an unconventional definition of a semi-isotropic tensor of the fourth rank, a coordinate representation in terms of Kronecker deltas and metric tensors is given. Conditions for the covariant constancy of semi-isotropic tensors of the fourth rank are derived.