On the number of zeros of diagonal cubic forms over finite fields

Abstract

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>𝔽</m:mi> <m:mi>q</m:mi> </m:msub> </m:math> {\mathbb{F}_{q}} be the finite field of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:math> {q=p^{k}} elements with p being a prime and let k be a positive integer. For any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mi>𝔽</m:mi> <m:mi>q</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> {y,z\in\mathbb{F}_{q}} , let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mi>s</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {N_{s}(z)} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>T</m:mi> <m:mi>s</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {T_{s}(y)} denote the numbers of zeros of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mn>1</m:mn> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>s</m:mi> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> </m:math> {x_{1}^{3}+\cdots+x_{s}^{3}=z} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mn>1</m:mn> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>s</m:mi> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {x_{1}^{3}+\cdots+x_{s-1}^{3}+yx_{s}^{3}=0} , respectively. Gauss proved that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:math> {q=p} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>≡</m:mo> <m:mrow> <m:mpadded width="+3.3pt"> <m:mn>1</m:mn> </m:mpadded> <m:mspace width="v

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