Difference monotonicity analysis on discrete fractional operators with discrete generalized Mittag-Leffler kernels

Abstract

Abstract In this paper, we present the monotonicity analysis for the nabla fractional differences with discrete generalized Mittag-Leffler kernels $( {}^{ABR}_{a-1}{\nabla }^{\delta ,\gamma }y )(\eta )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> of order $0&lt;\delta &lt;0.5$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:math> , $\beta =1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> , $0&lt;\gamma \leq 1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> starting at $a-1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> . If $({}^{ABR}_{a-1}{\nabla }^{\delta ,\gamma }y ) ( \eta )\geq 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> , then we deduce that $y(\eta )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> is $\delta ^{2}\gamma $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi></mml:math> -increasing. That is, $y(\eta +1)\geq \delta ^{2} \gamma y(\eta )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msup><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> for each $\eta \in \mathcal{N}_{a}:=\{a,a+1,\ldots\}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo></mml:math> . Conversely, if $y(\eta )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> is increasing with $y(a)\geq 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> , then we deduce that $({}^{ABR}_{a-1}{\nabla }^{\delta ,\gamma }y )(\eta ) \geq 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow/><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> . Furthermore, the monotonicity properties of the Caputo and right fractional differences are concluded to. Finally, we find a fractional difference version of the mean value theorem as an application of our results. One can see that our results cover some existing results in the literature.

Topics & Concepts