Entire weak solutions for an anisotropic equation in the Heisenberg group

Abstract

Here, we consider an anisotropic equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta Subscript double-struck upper H Sub Superscript n Subscript comma ModifyingAbove p With right-arrow Baseline u plus a left-parenthesis q right-parenthesis StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p Super Superscript en-dash Superscript 2 Baseline u equals lamda w left-parenthesis q right-parenthesis StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript m minus 2 Baseline u minus h left-parenthesis q right-parenthesis StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript l minus 2 Baseline u comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> → </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>–</mml:mo> </mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">-\Delta _{{\mathbb {H}^n},\overrightarrow {p}}u +a(q)|u|^{p^–2}u=\lambda w(q)|u|^{m-2}u-h(q)|u|^{l-2}u,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> in the Heisenberg group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {H}^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where the operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta Subscript double-struck upper H Sub Superscript n Subscript comma ModifyingAbove p With right-arrow"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> → </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta _{{\mathbb {H}^n},\overrightarrow {p}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the horizontal anisotropic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -Laplacian on the Heisenberg group and is defined in the sequel. By the variational methods, we prove the existence of the entire weak solutions.

Topics & Concepts